Условие
Построить окружность, равноудалённую от четырёх точек плоскости. Сколько
решений имеет задача?
Решение
Ответ: 7 решений (в невырожденном случае).
Пусть A, B, C, D — данные точки, S — искомая окружность. По одну
сторону от S лежит k данных точек, по другую сторону лежит 4 - k данных
точек. Мы будем предполагать, что данные точки не лежат на одной окружности
(иначе в качестве S можно взять любую окружность с тем же центром; получается
бесконечно много решений). Таким образом,
1
k3. Мы получаем два
существенно различных расположения точек по отношению к S: 2 + 2 и 1 + 3.
Пусть сначала точки A и B лежат по одну сторону от окружности S, а
точки C и D — по другую. Центром окружности S является точка O
пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD. Радиус
окружности S равен среднему арифметическому длин отрезков OA и OC.
Четыре точки можно разбить на пары тремя способами, поэтому мы получаем 3
решения.
Пусть теперь точки A, B и C лежат по одну сторону от окружности S,
а точка D — по другую. Проведём через точки A, B и C окружность.
Пусть O и R — её центр и радиус. Точка O является центром искомой
окружности, а радиус искомой окружности равен среднему арифметическому R и
OD. Одну точку из четырёх можно выбрать четырьмя способами, поэтому мы
получаем 4 решения.
Источники и прецеденты использования
