Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.
Братья Петя и Вася решили снять смешной ролик и выложить его в интернет. Сначала они сняли, как каждый из них идёт из дома в школу — Вася шёл 8 минут, а Петя шёл 5 минут. Потом пришли домой и сели за компьютер монтировать видео: они запустили одновременно Васино видео с начала и Петино видео с конца (в обратном направлении); в момент, когда на обоих роликах братья оказались в одной и той же точке пути, они склеили Петино видео с Васиным. Получился ролик, на котором Вася идёт из дома в школу, а потом в какой-то момент вдруг превращается в Петю и идёт домой задом наперёд. А какой длительности получился ролик?
|
|
 |
Условие
К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и
точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике
суммы противоположных сторон равны.
Решение
Пусть O — точка касания окружностей, A и D — точки касания с окружностями одной касательной, B и C — точки касания другой касательной (точки A и B лежат на одной окружности, C и D на другой). Проведём через точку O общую касательную к окружностям. Пусть она пересекает прямые BC и AD в точках P и Q. Две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, поэтому PB = PO = PC и QA = QO = QD. Из этого следует, что: 1) отрезок PQ является средней линией трапеции ABCD; 2) длина отрезка PQ равна полусумме длин сторон BC и AD. Остаётся заметить, что длина средней линии трапеции ABCD равна полусумме длин её оснований AB и CD.
