Условие
Дан выпуклый пятиугольник
ABCDE. Сторонами, противоположными вершинам
A,
B,
C,
D,
E, мы называем соответственно отрезки
CD,
DE,
EA,
AB,
BC. Докажите, что если произвольную точку
M,
лежащую внутри пятиугольника, соединить прямыми со всеми его вершинами, то из
этих прямых либо ровно одна, либо ровно три, либо ровно пять пересекают стороны
пятиугольника, противоположные вершинам, через которые они проходят.
Решение
Проведём диагонали данного пятиугольника. Они разбивают его на 11 областей:
один пятиугольник, 5 внутренних треугольников (сторонами которых служат
диагонали) и 5 внешних треугольников (одной из сторон каждого из которых служит
сторона пятиугольника). Если точка
M принадлежит внешнему треугольнику, то
число требуемых прямых равно 1, если
M принадлежит внутреннему треугольнику,
то число прямых равно 3, а если пятиугольнику, то число прямых равно 5.
Источники и прецеденты использования
