ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76540
Тема:    [ Три окружности одного радиуса ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка O является точкой пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Докажите, что 3 окружности, проходящие: первая через точки O, A, B, вторая — через точки O, B, C и третья — через точки O, C, A, равны между собой.

Решение

Легко проверить, что $ \angle$AOB = 180° – $ \angle$C. Поэтому радиус описанной окружности треугольника AOB равен $ {\frac{1}{2}}$AB / sin$ \angle$AOB = $ {\frac{1}{2}}$AB / sin$ \angle$C = R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Радиусы остальных рассматриваемых окружностей тоже равны R.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 10
Год 1947
вариант
Класс 7,8
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .