Задача 76540

Тема:    [ Три окружности одного радиуса ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка O является точкой пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Докажите, что 3 окружности, проходящие: первая через точки O, A, B, вторая — через точки O, B, C и третья — через точки O, C, A, равны между собой.

Решение

Легко проверить, что AOB = 180° – C. Поэтому радиус описанной окружности треугольника AOB равен AB / sinAOB = AB / sinC = R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Радиусы остальных рассматриваемых окружностей тоже равны R.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	10
Год	1947
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	5