Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

   Решение

Докажите, что барицентрические координаты точки X, лежащей внутри треугольника ABC, равны (S_BCX : S_CAX : S_ABX).

   Решение

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

   Решение

Найти все рациональные положительные решения уравнения  x^y = y^x  (x ≠ y).

   Решение

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найти все рациональные положительные решения уравнения  x^y = y^x  (x ≠ y).

Решение

Пусть  y = kx.  Тогда  x^kx = (kx)^x.  Извлекая корень степени x, а затем деля на x, получаем  x^k–1 = k.  Число k рационально; пусть  ¹/_k–1 = ^p/_q  – несократимая дробь. Тогда  x = (^p+q/_p)^p/q.  Числа p и q взаимно просты, поэтому x рационально лишь в том случае, когда из целых чисел p и  p + q  можно извлечь корень степени q. Но если  q ≥ 2  и  p = n^q,  то   n^q < p + q < (n + 1)^q = n^q + qn^q–1 + ½ q(q – 1)n^q–2 + ...
  Поэтому  q = 1.

Ответ

x = (^p+1/_p)^p,  y = (^p+1/_p)^p+1,  где p – произвольное целое число, отличное от 0 и –1.

Источники и прецеденты использования