Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c  (AB = c,  BC = a,  CA = b  и  a < b < c).  На лучах BC и AC отмечены соответственно такие точки B₁ и A₁, что  BB₁ = AA₁ = c.  На лучах CA и BA отмечены соответственно такие точки C₂ и B₂, что  CC₂ = BB₂ = a.  Найти  A₁B₁ : C₂B₂.

   Решение

В треугольнике ABC  ∠A = 45°,  BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём  BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.

   Решение

Найдите ближайшее целое число к числу x, если  x = .

   Решение

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Метод спуска ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

Решение

Предположим, что  x = 2^mu,  y = 2ⁿv,  z = 2^kw,  где числа u, v, w нечётны. Можно считать, что  m ≤ n ≤ k.  Тогда обе части уравнения можно сократить на 2^2m. В результате получим  u² + 2^(n–m)v² + 2^(k–m)w² = 2^n+k–m+1uvw,  где  n + k – m + 1 ≥ 1.  Если  n = m = k,  то при делении на 4 число в левой части этого равенства даёт остаток 3, а число в правой части даёт остаток 0 или 2. Если же  k > n,  то число в левой части даёт остаток 1, 2 или 3, а число в правой части – остаток 0. Противоречие.

Источники и прецеденты использования