ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77938
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите тождество   (ax + by + cz)² + (bx + cy + az)² + (cx + ay + bz)² = (cx + by + az)² + (bx + ay + cz)² + (ax + cy + bz)².


Решение 1

(ax + by + cz)² + (bx + cy + az)² + (cx + ay + bz)² = (a²x² + b²y² + ... + c²z2) + 2(abxy + abxz + acxz + ... + bcyz) =
     = (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) + 2(ab + bc + ca)(xy + yz + zx).
Аналогично проверяется, что левая часть равна   (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) + 2(ab + bc + ca)(xy + yz + zx).


Решение 2

(ax + by + cz)² – (ax + cy + bz)² = (by + cz – cy – bz)(2ax + by + cz + cy + bz) =
      = (b – c)(y – z)(2ax + (b + c)(y + z)) = 2ax(b – c)(y – z) + (b² – c²)(y² – z²).
Аналогично
     (bx + cy + az)² – (cx + by + az)² = 2az(b – c)(x – y) + (b² – c²)(x² – y²),
     (cx + ay + bz)² – (bx + ay + cz)² = 2ay(b – c)(z – x) + (b² – c²)(z² – x²),
Складывая, получим, что разность левой и правой частей данного тождества равна
     2a(b – c)(xy – xz + xz – yz + yz – xy) + (b² – c²)(y² – z² + x² – y² + x² – y²) = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 15
Год 1952
вариант
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .