|
|
 |
Условие
Докажите тождество (ax + by + cz)² + (bx + cy + az)² + (cx + ay + bz)² = (cx + by + az)² + (bx + ay + cz)² + (ax + cy + bz)².
Решение 1
(ax + by + cz)² + (bx + cy + az)² + (cx + ay + bz)² = (a²x² + b²y² + ... + c²z2) + 2(abxy + abxz + acxz + ... + bcyz) =
= (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) + 2(ab + bc + ca)(xy + yz + zx).
Аналогично проверяется, что левая часть равна (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) + 2(ab + bc + ca)(xy + yz + zx).
Решение 2
(ax + by + cz)² – (ax + cy + bz)² =
(by + cz – cy – bz)(2ax + by + cz + cy + bz) =
= (b – c)(y – z)(2ax + (b + c)(y + z)) = 2ax(b – c)(y – z) + (b² – c²)(y² – z²).
Аналогично
(bx + cy + az)² – (cx + by + az)² = 2az(b – c)(x – y) + (b² – c²)(x² – y²),
(cx + ay + bz)² – (bx + ay + cz)² = 2ay(b – c)(z – x) + (b² – c²)(z² – x²),
Складывая, получим, что разность левой и правой частей данного тождества равна
2a(b – c)(xy – xz + xz – yz + yz – xy) + (b² – c²)(y² – z² + x² – y² + x² – y²) = 0.
