Задача 77954

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Для выпуклого четырёхугольника ABCD соблюдено условие: AB + CD = BC + DA. Докажите, что окружность, вписанная в ABC, касается окружности, вписанной в ACD.

Решение

Пусть K и L — точки касания со стороной AC окружностей, вписанных в треугольники ABC и ADC. Тогда 2AK = AB + AC - BC и 2AL = AD + AC - DC. Поэтому из равенства AB + CD = BC + AD следует, что AK = AL, т.е. точки K и L совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	2