Задача 78026

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ ГМТ и вписанный угол ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан равносторонний ABC. На сторонах AB и BC взяты точки D и E так, что AE = CD. Найти геометрическое место точек пересечения отрезков AE и CD.

Решение

Ответ: высота, проведённая из вершины B, и дуга окружности, из которой сторона AC видна под углом 120^o. Фиксируем точку D. На стороне BC есть две точки E₁ и E₂, для которых AE₁ = AE₂ = CD. А именно, точки, для которых BE₁ = AD и CE₂ = AD. Отрезки AE₂ и CD пересекаются на высоте BH треугольника ABC. Отрезок CD получается из отрезка AE₁ поворотом на 120^o вокруг центра треугольника ABC. Поэтому из точки пересечения отрезков CD и AE₁ сторона AC видна под углом 120^o.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	3