ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78091
Темы:    [ Пирамида (прочее) ]
[ Развертка помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.

Решение

Рассмотрим развёртку данной пирамиды. Она представляет собой треугольник ABC, к которому приложены треугольники ABDC, BCDA, CADB. Из условия следует, что следующие 4 величины равны: суммы троек углов при вершинах A, B и C и сумма углов при вершинах DA, DB, DC. Значит, каждая из этих сумм равна 180o, поскольку сумма всех 12 рассматриваемых углов представляет собой сумму углов четырёх треугольников. В итоге получаем, что развёртка представляет собой треугольник, в котором проведены три средние линии (мы воспользовались здесь тем, что ADB = ADC, BDA = BDC, CDA = CDB). Средние линии разбивают треугольник на 4 равных треугольника, поэтому грани пирамиды равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 19
Год 1956
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .