Задача 78091

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 11

Условие

Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.

Решение

Рассмотрим развёртку данной пирамиды. Она представляет собой треугольник ABC, к которому приложены треугольники ABD_C, BCD_A, CAD_B. Из условия следует, что следующие 4 величины равны: суммы троек углов при вершинах A, B и C и сумма углов при вершинах D_A, D_B, D_C. Значит, каждая из этих сумм равна 180^o, поскольку сумма всех 12 рассматриваемых углов представляет собой сумму углов четырёх треугольников. В итоге получаем, что развёртка представляет собой треугольник, в котором проведены три средние линии (мы воспользовались здесь тем, что AD_B = AD_C, BD_A = BD_C, CD_A = CD_B). Средние линии разбивают треугольник на 4 равных треугольника, поэтому грани пирамиды равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	4