Версия для печати
Убрать все задачи

---

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

   Решение

---

Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

Решение

Опустим из точки O перпендикуляры OA₁, OB₁ и OC₁ на стороны треугольника. Из точки G тоже опустим перпендикуляры GA₂, GB₂ и GC₂ на стороны треугольника. Ясно, что

и GA₂ = GB₂ = GC₂ = x. Остаётся доказать, что OA₁ + OB₁ + OC₁ = 3x. Пусть a — сторона равностороннего треугольника ABC, S — его площадь. Тогда a(OA₁ + OB₁ + OC₁) = 2S. Поэтому сумма OA₁ + OB₁ + OC₁ одна и та же для любой точки O внутри треугольника ABC. Но если O совпадает с G, то эта сумма равна 3x.

Источники и прецеденты использования