Задача 78118

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 4- Классы: 9

Условие

Найти все действительные решения системы уравнений  

Решение

Если одно из чисел x₁, x₂, x₃ равно нулю, то остальные числа тоже равны нулю. Поэтому далее считаем, что  x₁x₂x₃ ≠ 0.  Тогда систему можно записать в виде     Сложив эти уравнения, получим   (1 – ¹/_x1)² + (1 – ¹/_x2)² + (1 – ¹/_x3)² = 0.   Это равенство может выполняться лишь в случае, когда   1 – ¹/_x1 = 1 – ¹/_x2 = 1 – ¹/_x3 = 0.

Ответ

(0, 0, 0)  и  (1, 1, 1).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.067
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	4