Задача 78120
|
|
 |
Условие
Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из прямоугольников.Решение
Поступательное перемещение прямоугольника можно представить в виде композиции перемещения вдоль одной стороны и перемещения вдоль другой стороны. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда прямоугольник перемещается вдоль одной из сторон (рис.).
Ясно, что $S_{AB_2CD_2}-S_{AB_1CD_1}=S_{CB_1B_2}+S_{CD_1D_2}-S_{AB_1B_2}-S_{AD_1D_2}$ Отрезки $B_1B_2$ и $D_1D_2$ равны, поэтому $S_{AB_1B_2}+S_{AD_1D_2}=\frac{1}{2}ab$, где $a=B_1B_2=D_1D_2$ и $b$ — сторона прямоугольника. Аналогично $S_{CB_1B_2}+S_{CD_1D_2}=\frac{1}{2}ab$.
