|
|
 |
Условие
Внутри треугольника ABC взята точка O. На лучах OA, OB и OC построены векторы единичной длины.
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.
Решение
Пусть ,
и
– построенные векторы единичной длины.
Первый способ. Построим также вектор Точка O лежит внутри треугольника ABC, поэтому луч OC2 лежит внутри угла A1OB1. Достроим треугольник A1OB1 до ромба A1OB1D. Тогда
и
Пусть S – окружность радиуса 1 с центром D. Точка C2 лежит на образе дуги A1B1 этой окружности при симметрии относительно прямой A1B1. Следовательно, точка C2 лежит внутри окружности S, то есть C2D ≤ 1, что и требовалось.
Второй способ Точка O лежит внутри треугольника ABC, поэтому треугольник A1B1C1 остроугольный. Пусть H – ортоцентр треугольника A1B1C1. Он лежит внутри описанной окружности треугольника A1B1C1, поэтому OH ≤ 1. Но согласно задаче 57693 .
