Информация о задаче

Задача 78140

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Бесконечная плоская ломаная A₀A₁...A_n..., все углы которой прямые, начинается в точке A₀ с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние OA_n = l_n. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна s_n. Доказать, что найдётся n, для которого ${\frac{s_n}{l_n}}$ > 1958.

Решение

Заметим, что координаты вектора $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ равны $\left(\vphantom{\pm \frac{l}{\sqrt2},\pm\frac{l}{\sqrt2}}\right.$ ± ${\frac{l}{\sqrt2}}$ ,± ${\frac{l}{\sqrt2}}$ $\left.\vphantom{\pm \frac{l}{\sqrt2},\pm\frac{l}{\sqrt2}}\right)$ , где l — длина этого вектора, целое число. Следовательно, координаты любой точки A_i имеют вид $\left(\vphantom{\frac{n}{\sqrt2},1+\frac{m}{\sqrt2}}\right.$ ${\frac{n}{\sqrt2}}$ , 1 + ${\frac{m}{\sqrt2}}$ $\left.\vphantom{\frac{n}{\sqrt2},1+\frac{m}{\sqrt2}}\right)$ , где m, n — целые числа. Далее, индукцией по n докажем, что точка A_4n имеет координаты (0, 1 + n $\sqrt{2}$ ), точка A_{4n + 1} — координаты ((n + 1) $\sqrt{2}$ , 1 - $\sqrt{2}$ ), точка A_{4n + 2} — координаты (0, 1 - (n + 2) $\sqrt{2}$ ), а точка A_{4n + 3} — координаты $\left(\vphantom{-\frac{2n+3}{\sqrt2},1-\frac1{\sqrt2}}\right.$ - ${\frac{2n+3}{\sqrt2}}$ , 1 - ${\frac{1}{\sqrt2}}$ $\left.\vphantom{-\frac{2n+3}{\sqrt2},1-\frac1{\sqrt2}}\right)$ . Отсюда следует, что s_{4(n + 1)} = s_4n + | A_4nA_{4n + 1}| + | A_{4n + 1}A_{4n + 2}| + | A_{4n + 2}A_{4n + 3}| + | A_{4n + 3}A_{4n + 4}| = s_4n + (2n + 2) + (2n + 2) + (2n + 3) + (2n + 3) = s_4n + (8n + 10). Следовательно, s_{4n + 4} - s_4n > 8(n + 1), откуда s_4n > $\sum_{k=1}^{n}$ 8n = 4n(n + 1) > 4n². С другой стороны, l_4n = | OA_4n| = 1 + n $\sqrt{2}$ < 2n + 1 < 3n (при n $\ge$ 1). Следовательно, ${\frac{s_n}{l_n}}$ > ${\frac{4n}{3}}$ > n > 1958 при n > 1958.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	1