ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78140  (#1)

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Бесконечная плоская ломаная A0A1...An..., все углы которой прямые, начинается в точке A0 с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние OAn = ln. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна sn. Доказать, что найдётся n, для которого $ {\frac{s_n}{l_n}}$ > 1958.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78141  (#2)

Темы:   [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Доказать, что если  |ax² – bx + c| < 1  при любом x из отрезка  [–1, 1],  то и  |(a + b)x² + c| < 1  на этом отрезке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78142  (#3)

Темы:   [ Поворот и винтовое движение ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Какое наибольшее число осей симметрии может иметь пространственная фигура, состоящая из трёх прямых, из которых никакие две не параллельны и не совпадают?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78143  (#4)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Решить в целых положительных числах уравнение

Прислать комментарий     Решение

Задача 78144  (#5)

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Отрезок длиной 3n разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого k(1$ \le$k$ \le$3n) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно k.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .