Задача 78146

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Доказать, что  1155¹⁹⁵⁸ + 34¹⁹⁵⁸ ≠ n²,  где n – целое.

Решение

С одной стороны,  1155¹⁹⁵⁸ + 34¹⁹⁵⁸ = (1155⁹⁷⁹)² + 34¹⁹⁵⁸ > (1155⁹⁷⁹)².  С другой стороны,  1155¹⁹⁵⁸ + 34¹⁹⁵⁸ < (1155⁹⁷⁹ + 2)²,  поскольку
34¹⁹⁵⁸ = 1156⁹⁷⁹ < 4·1155⁹⁷⁹.  Действительно,  (¹⁹⁵⁶/₁₉₅₅)⁹⁷⁹ = (1 + ¹/₁₉₅₅)⁹⁷⁹ < (1 + ¹/₁₉₅₅)¹⁹⁵⁵ < 3  (см. решение задачи 61394 б). Таким образом, если бы число  1155¹⁹⁵⁸ + 34¹⁹⁵⁸  было квадратом натурального числа n, то число n было бы равно  1155⁹⁷⁹ + 1.  Но этого не может быть, потому что число  1155⁹⁷⁹ + 1  чётно, а число  1155¹⁹⁵⁸ + 34¹⁹⁵⁸  нечётно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	2