|
|
 |
Условие
Обозначим через a наибольшее число непересекающихся кругов диаметра 1,
центры которых лежат внутри многоугольника M, через b — наименьшее
число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть весь многоугольник M.
Какое число больше: a или b?
Решение
Рассмотрим n непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых принадлежат
многоугольнику M. Заменим каждый круг концентрическим с ним кругом
радиуса 1. Если полученные таким образом круги не покрывают какую-либо
точку A многоугольника M, то эта точка будет удалена от центров всех
кругов не меньше чем на 1; поэтому круг диаметра 1 с центром A не
пересекается ни с одним из первоначальных кругов диаметра 1, и его можно
прибавить к этим кругам, что, однако, противоречит определению числа n.
Поэтому n рассматриваемых кругов радиуса 1 полностью покрывают
многоугольник. А так как m — наименьшее число кругов радиуса 1,
которыми можно покрыть многоугольник M, то mn.
