Условие
Обозначим через
a наибольшее число непересекающихся кругов диаметра 1,
центры которых лежат внутри многоугольника
M, через
b — наименьшее
число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть весь многоугольник
M.
Какое число больше:
a или
b?
Решение
Рассмотрим
n непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых принадлежат
многоугольнику
M. Заменим каждый круг концентрическим с ним кругом
радиуса 1. Если полученные таким образом круги не покрывают какую-либо
точку
A многоугольника
M, то эта точка будет удалена от центров всех
кругов не меньше чем на 1; поэтому круг диаметра 1 с центром
A не
пересекается ни с одним из первоначальных кругов диаметра 1, и его можно
прибавить к этим кругам, что, однако, противоречит определению числа
n.
Поэтому
n рассматриваемых кругов радиуса 1 полностью покрывают
многоугольник. А так как
m — наименьшее число кругов радиуса 1,
которыми можно покрыть многоугольник
M, то
m
n.
Источники и прецеденты использования
