Задача 78179
|
|
 |
Условие
Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной
окружности хорду данной длины.
Решение
Покажем сначала, что общие хорды окружности O и каждой из окружностей, проходящих через точки A и В, пересекаются в одной точке. Для этого проведём через точки A и В любую окружность O1, пересекающую данную окружность O в точках M1 и N1, и обозначим через Р точку пересечения прямых M1N1 и AB. Проведём теперь через точку P секущую M2N2 к окружности O и построим окружность O2, проходящую через точки M2, N2, A. По известной теореме,
| PM2 . PN2 | = PA . PB' (в окружности O2), | (68) |
| PM2 . PN2 | = PM1 . PN1 (в окружности O), | (69) |
| PM1 . PN1 | = PA . PB (в окружности O1), | (70) |
где В' — точка пересечения прямой AB с окружностью O2. Отсюда PA . PB' = PA . PB, т. е. PB' = PB, и потому точки В и В' совпадают. Ясно, что таким способом может быть построена любая окружность, проходящая через точки A и В и пересекающая окружность O. В самом деле, кроме знания точек A и В, для определения окружности необходимо и достаточно задания ещё одной точки. Пусть это будет одна из точек пересечения искомой окружности с окружностью O. По этой точке M мы построим секущую PMN и через точки M, N и A проведём окружность. Как было показано, она непременно пройдёт и через точку В. Итак, мы показали, что любая окружность, проходящая через точки A и В и пересекающаяся с окружностью O, имеет с O общую секущую, проходящую через фиксированную точку Р, которую можно построить (с помощью любой такой окружности). Заметим теперь, что в данной окружности все хорды данной длины лежат на одном расстоянии от центра и, значит, касаются некоторой окружности, которую также можно построить с помощью любой такой хорды. Построение, завершающее решение задачи, теперь очевидно: нужно из точки Р провести касательную к вспомогательной окружности и по этой касательной построить искомую окружность, как было описано выше. Заметим, наконец, что в том случае, когда перпендикуляр, проведённый через середину отрезка AB, проходит через центр окружности O, общие хорды данной окружности и каждой из окружностей, проходящих через точки A и В, уже не будут пересекаться в одной точке, но будут все параллельны прямой AB. В этом случае завершающее построение состоит в проведении прямой, параллельной данной прямой AB и касающейся вспомогательной окружности, и в последующем построении искомой окружности по этой касательной. (Решение из книги [#!Leman!#].)
