ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78205
Тема:    [ Три окружности одного радиуса ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

3 равные окружности с центрами O1, O2, O3 пересекаются в данной точке. A1, A2, A3 — остальные точки пересечения. Доказать, что треугольники O1O2O3 и A1A2A3 равны.

Решение

Пусть K — общая точка всех трёх окружностей. Так как окружности по условию равны, то KA1 есть перпендикуляр, проведённый через середину M1 отрезка O2O3; далее KA2 — перпендикуляр, проведённый через середину М2 отрезка O1O3, и KA3 — перпендикуляр, проведённый через середину М3 отрезка O1O2. Точки M1, M2 и M3 являются также серединами отрезков KA1, KA2, KA3. В треугольниках КA2A3 и O1O2O3 отрезок M2M3 является средней линией и, следовательно,

O2O3 = 2M2M3 = A2A3.

Аналогично,

O1O3 = 2M1M3 = A1A3,
O1O2 = 2M1M2 = A1A2.

Отсюда и следует требуемое равенство треугольников:

$\displaystyle \bigtriangleup$A1A2A3 = $\displaystyle \bigtriangleup$O1O2O3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 23
Год 1960
вариант
1
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .