Информация о задаче

Задача 78215

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

Решение

Пусть l — некоторая прямая, проходящая через точку О; A и В — точки её пересечения с границей многоугольника. Нам надо доказать, что OA = OВ (для любой прямой l, проходящей через точку O). Допустим, напротив, что отрезки OA и OВ не равны; пусть например, OA > OB. Возьмём прямую l', проходящую через О и пересекающую границу многоугольника в точках С и D, настолько близко расположенных от точек A и B (соответственно), чтобы было OC > OD и, кроме того, чтобы на участках границы от A до C и от В до D не было вершин многоугольника (в силу выпуклости многоугольника это всегда можно сделать). Прямая l разбивает площадь многоугольника на части S₁ и S₂, прямая l' — на части S₁' и S₂', причём, по условию

S₁ = S₂, S₁^' = S₂^'.

Вычитая одно равенство из другого, получим

S_BOD = S_AOC.

Однако из равенств

S_AOC	= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AO^.OC^.sin $\displaystyle \angle$ AOC,
S_BOD	= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BO^.OD^.sin $\displaystyle \angle$ BOD

в силу соотношений

OA > OB, OC > OD, $\displaystyle \angle$ AOC = $\displaystyle \angle$ BOD

вытекает, что S_AOC > S_BOD. Полученное противоречие показывает, что для любой прямой l, проходящей через точку О, имеет место равенство OA = OВ. Это и означает, что O есть центр симметрии многоугольника.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	3