Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Известно, что число n является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число n² тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.
Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. Боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках M и N, K – середина AD.
В каком отношении прямая BK делит отрезок MN?
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Имеется m точек, некоторые из которых соединены отрезками так, что каждая соединена с l точками. Какие значения может принимать l?
|
|
 |
Условие
Имеется m точек, некоторые из которых соединены отрезками так, что каждая
соединена с l точками. Какие значения может принимать l?
Решение
Так как каждую точку можно соединить не более чем с m - 1 другими, l < m.
Кроме того, общее число пар вида (отрезок, конец этого отрезка) равно lm,
а значит, общее число отрезков равно lm/2, откуда следует, что число lm
чётно.
Докажем, что для любых l < m, для которых число lm чётно, описанная
в условии конструкция осуществима. Рассмотрим сначала случай, когда число l
чётно. Расположим точки в вершинах правильного m-угольника и проведём
те хорды, по какую-нибудь сторону от которых лежит не более
- 1
вершин многоугольника. Тогда каждая вершина будет соединена ровно с l
другими. Рассмотрим теперь случай, когда число l нечётно, а число m
чётно. Расположим точки в вершинах двух правильных (m/2)-угольников.
Разобьём все вершины на пары так, чтобы в каждой паре была одна вершина
первого многоугольника и одна вершина второго многоугольника. Соединим
отрезком получившиеся пары вершин, а в каждом многоугольнике соединим вершины
так, чтобы каждая вершина была соединена ровно с l - 1 другими.
