Задача 78238

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Доказать, что если n чётно, то числа 1, 2, 3, ..., n² можно таким образом расположить в квадратную таблицу n×n, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.

Решение

Запишем числа от 1 до 2n в две строки следующим образом:

Суммы чисел в каждом столбце, как видно, равны. Так как n чётно, мы можем разбить строки на пары и в первую пару строк записать числа от 1 до 2n так, как было указано; во вторую пару – числа от  2n + 1  до 4n аналогичным способом:

и т. д. В каждой паре строк суммы чисел в столбцах одинаковы, поэтому построенная таблица удовлетворяет требуемым условиям.

Замечания

Ср. с задачей 78248.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	1