ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78238
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что если n чётно, то числа 1, 2, 3, ..., n² можно таким образом расположить в квадратную таблицу n×n, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.


Решение

Запишем числа от 1 до 2n в две строки следующим образом:

Суммы чисел в каждом столбце, как видно, равны. Так как n чётно, мы можем разбить строки на пары и в первую пару строк записать числа от 1 до 2n так, как было указано; во вторую пару – числа от  2n + 1  до 4n аналогичным способом:
и т. д. В каждой паре строк суммы чисел в столбцах одинаковы, поэтому построенная таблица удовлетворяет требуемым условиям.

Замечания

Ср. с задачей 78248.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .