|
|
 |
Условие
У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.
Решение 1
Шар нужно пустить параллельно ближайшей к точке "малой" диагонали 2n-угольника (см. рис.). Ясно, что в этом случае траектория шара замкнется (она представляет собой полуправильный 2n-угольник). Из подобия легко следует, что независимо от начальной точки сумма длин двух последовательных сторон полученного многоугольника равна "малой" диагонали исходного. Значит, и длина всего пути не зависит от начальной точки.
Решение 2
Каждый раз, когда шар отражается от некоторой стороны, будем отражать весь наш многоугольник относительно этой стороны и смотреть на продолжение движения шара в новом многоугольнике. Тем самым траектория шара распрямится. После 2n таких отражений мы получим многоугольник, который получается из исходного композицией 2n осевых симметрий. Эта композиция является параллельным переносом (композиция двух симметрий относительно соседних сторон – поворот на угол 2π/n). "Распрямлённая" траектория шара представляет собой отрезок, соединяющий две точки, получающиеся друг из друга этим переносом. Поэтому длина траектории равна длине вектора этого параллельного переноса, а её угол наклона к борту бильярда равен углу между этим вектором и стороной многоугольника, то есть он определен однозначно. Таким образом, есть только один способ выпустить шар в соответствии с условиями задачи (точнее, два – в одном случае он "обходит" стороны по, а в другом – против часовой стрелки). Он указан в решении 1.
Ответ
Шар нужно пустить под углом π/2n к борту.
Замечания
1. См также решение задачи 109956, где единственность угла наклона доказана более элементарно.
2. В условии подразумевается, что каждая следующая сторона, от которой отражается шар, является соседней к предыдущей. Возникает естественный вопрос: может ли шар отражаться от сторон в каком-то другом порядке (так, чтобы в конце концов все же отразиться от всех сторон по одному разу). Вот пример:
В этом случае длина пути, разумеется, другая: композиция соответствующих симметрий здесь также является параллельным переносом, но уже другим. Отсюда, как и ранее, следует, что, сдвинув точку начала и пустив шар под тем же углом, мы не изменим длину пути.
Очевидно, подобные "звездчатые" траектории можно строить для любого числа p, взаимно простого с 2n (на рисунке p = 3). Вопрос о том, возможны ли случаи, когда шар "обходит" стороны в более "хаотическом" порядке, видимо, выходит далеко за рамки данной задачи. Отметим только, что в такой ситуации композиция соответствующих симметрий уже не обязана быть параллельным переносом.
