Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Докажите неравенство при любых натуральных n и k.
В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.
AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.
Что больше 200! или 100200?
В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.
На данной прямой l, проходящей через центр O данной окружности, фиксирована точка C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки A и A' расположены на окружности по одну сторону от l так, что углы, образованные прямыми AC и A'C с прямой l, равны. Обозначим через B точку пересечения прямых AA' и l. Доказать, что положение точки B не зависит от точки A.
|
|
 |
Условие
На данной прямой l, проходящей через центр O данной окружности, фиксирована
точка C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки A и A'
расположены на окружности по одну сторону от l так, что углы, образованные
прямыми AC и A'C с прямой l, равны. Обозначим через B точку
пересечения прямых AA' и l. Доказать, что положение точки B не зависит
от точки A.
Решение
Пусть для определённости точка A' ближе к прямой l, чем точка A.
Рассмотрим точку A1, симметричную точке A относительно прямой l. Ясно,
что
CA'A =
A1A'A =
A1OA. Угол
A1OA
равен удвоенному внешнему углу при вершине O четырёхугольника AA'CO.
Поэтому четырёхугольник AA'CO вписанный, а значит,
BA' . BA = BC . BO.
Пусть D и E – точки пересечения прямой l и исходной
окружности. По доказанному BC.BO =
BD.BE.
Ясно, что это условие определяет точку B однозначно.
