Информация о задаче

Задача 78538

Тема:

[

Разбиения на пары и группы; биекции

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что любое чётное число 2n $\ge$ 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

Решение

Занумеруем точки с целыми неотрицательными координатами (x, y) в следующем порядке: (0, 1), (1, 0), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), (0, 4) и т.д. Докажем, что точка с координатами (x, y) имеет номер n = ${\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}}$ . Для первой точки это очевидно. Предположим, что требуемое утверждение доказано для точки с номером n. Пусть n-я точка имеет координаты (x, y). Рассмотрим два случая. 1. Пусть y $\ne$ 0. Тогда (n + 1)-я точка имеет координаты (x', y') = (x + 1, y - 1). Ясно, что

$\displaystyle {\frac{(x'+y')^2+3x'+y'}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{(x+y)^2+3x+3+y-1}{2}}$ = n + 1.

2. Пусть y = 0. Тогда (n + 1)-я точка имеет координаты (x', y') = (0, x + 1). Ясно, что

$\displaystyle {\frac{(x'+y')^2+3x'+y'}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{(x+1)^2+x+1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{x^2+3x}{2}}$ + 1 = n + 1.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	11
Тур	2
задача
Номер	2


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	3


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	4