Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1964 год
>>
10 класс, 2 тур
Фильтр
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух
точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка
перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки
такой системы лежат на одной окружности.
Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон.
Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и
центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).
Доказать, что любое чётное число 2n
0 может быть единственным образом
представлено в виде
2n = (x + y)2 + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные
числа.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78541 (#1) |
|
|
В n мензурок налиты n разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно 1/n от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)
|
|
Решение |
Задача 78542 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78543 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78538 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78544 (#5) |
|
|
Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
