Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Вниз   Решение


В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в αk рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Вверх   Решение

Задача 78544
Темы:    [ Формула включения-исключения ]
[ Функция Эйлера ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.


Решение

  Найдём, на скольких карточках написано число    Для этого найдём, на скольких карточках написаны делители числа n, меньшие n. Каждый такой делитель является делителем одного из чисел n/p1, ..., n/pk. Обозначим через Ai множество карточек, на которых написан один из делителей числа n/pi. Заметим, что  Ai1Ai2 ∩ ... ∩ Ail  есть множество карточек, на которых написаны делители числа   . Следовательно, по условию
|Ai1Ai2 ∩ ... ∩ Ail| =  ,   где |A| – количество элементов множества A. По формуле включения-исключения получаем, что число карточек, на которых написаны делители числа n, меньшие n, равно     откуда число карточек, на которых написано число n, равно  

Замечания

Получившаяся функция φ(n) называется функцией Эйлера и совпадает с количеством чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 27
Год 1964
вариант
1
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .