Версия для печати
Убрать все задачи

---

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, 3, ..., 99. Затем карточки перемешиваются, раскладываются чистыми сторонами вверх и на чистых сторонах снова пишутся числа 1, 2, 3, 4, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Доказать, что в результате получится чётное число.

   Решение

---

Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ₀ касается всех окружностей γ₁, ..., γ_n; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁ и γ₂, γ₂ и γ₃, ..., γ_n и γ₁. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

   Решение

---

Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.

   Решение

Тема:    [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC, в котором сторона AB больше BC. Проведены биссектрисы AK и CM (K лежит на BC, M лежит на AB). Доказать, что отрезок AM больше MK, а отрезок MK больше KC.

Решение

По свойству биссектрисы  BM : MA = BC : CA и  BK : KC = BA : AC. Поэтому  BM : MA < BK : KC, т. е.

Следовательно, точка M более удалена от прямой AC, чем точка K, т. е.  AKM > KAC = KAM и  KMC < MCA = MCK. Из того, что AKM > KAM, следует, что AM > MK (против большей стороны лежит больший угол). Аналогично доказывается, что MK > KC.

Источники и прецеденты использования