Условие
Дана сфера
радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ
0, γ
1, ..., γ
n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ0 касается всех окружностей γ
1, ..., γ
n; кроме того, касаются друг друга окружности γ
1 и γ
2, γ
2 и γ
3, ..., γ
n и γ1. При каких
n это возможно? Вычислите соответствующий
радиус r.
Решение
Каждой окружности на сфере можно сопоставить ее "центр на сфере"– конец
радиуса сферы, проходящего через центр окружности (никогда не лежащий на сфере).
Эту точку мы будем называть "центром" окружности в кавычках, подчеркивающих,
что это не "обычный" центр (рис. 1
а ).
Заметим для точности, что такого определенного "центра" нет у окружностей
больших кругов сферы, у которых центр совпадает с центром сферы. Но окружности,
о которых идет речь в условии задачи, заведомо не могут иметь радиус
1,
потому что окружности двух больших кругов не могут друг друга касаться, они
всегда пересекают друг друга в двух диаметрально противоположных точках сферы.
Точка касания двух окружностей, расположенных на сфере (см. рис. 1
б ),
лежит в плоскости
P, проходящей через центры окружностей и центр сферы.
Действительно, обе окружности симметричны относительно плоскости
P , и если бы
они имели общую точку по одну сторону плоскости
P , то должны были бы иметь
и симметричную ей общую точку по другую сторону
P , а у них всего одна общая
точка. Если эти окружности имеют один и тот же радиус
r , то расстояние
между их "центрами" равно
2
r , потому что на окружности большого круга,
получающейся в переселении сферы и плоскости
P (рис. 1
в ),
диаметры наших окружностей (черные отрезки) и отрезок, соединяющий их
"центры" (красный), стягивают равные дуги.
Пусть
A0, A1, A2, ..., An – "центры" окружностей
γ0,
γ1, ...,γn , окоторых идет речь в условии задачи.
Тогда
A0 A1=A0 A2=...=A0 An=A1 A2=A2 A3=...=An A1 2
r ,
другими словами,
A0 A1 A2 ... An – вписанная в данную сферу
радиуса
1
правильная
n-угольная пирамида с вершиной
A0 , у которой все
боковые грани – равносторонние треугольники со сторонами, равными
2
r.
Итак, достаточно построить пирамиду, для которой выполнены эти условия, тогда
точки
A0 ,
A1 ,
... ,
An будут определять окружности радиуса
r
с "центрами"
A0 ,
A1 ,
... ,
An , которые, очевидно, удовлетворяют
условию задачи.
Поскольку сумма плоских углов выпуклого
n-гранного угла с вершиной
A0
меньше
360°:
n · 60° = 
A1 A0 A2+ A2 A0 A3+...+
An A0 A1 < 360°,
то
n < 6. Для
n = 3
, 4
и
5
нетрудно построить нужные пирамиды.
Пусть
O – центр сферы. Высота пирамиды
h и длина ее ребер
2
r находятся
из следующих соображений: радиус
KA1 основания пирамиды – катет
Δ
A0 KA1 и боковая сторона Δ
A1 KA2, где
A1 KA2=2π/
n (рис.
2
a, б),
= r.
Из Δ
A0OA1 имеем
r = 
.
Отсюда
h = 2
r2 ,
r = 
.
Таким образом,
(формулу
sin 
=
можно
вывести из рис.3, с помощью которого строятся правильный десятиугольник
и правильный пятиугольник):
Зная
r и
h, мы можем построить правильные пирамиды, которые в силу
приведенных соотношений будут удовлетворять вcем нужным условиям: все грани –
равносторонние треугольники со стороной
2
r , радиус описанной сферы –
1.
Построенные пирамиды тесно связаны с правильными многогранниками, грани
которых – треугольники. Таких многогранников всего три: тетраэдр,
октаэдр и икосаэдр (рис.4), и если от каждого из этих многогранников отрезать
"верхушку" – все грани, примыкающие к одной вершине, – то получатся
как раз такие три пирамиды, которыми мы занимались. Подробнее о правильных
многогранниках и о построении пятиугольника можно прочитать в прекрасной
книге Г.С.Кокстера "Введение в геометрию" ("Наука", 1966, гл.10
"Пять Платоновых тел" и гл.11 "Золотое сечение и филлотаксис").
|
Заметим еще, что ограничение n  3 в условии задачи вполне можно было
бы заменить на n 2 . Соответствующее расположение трех окружностей
γ0, γ1, γ2 существует (рис.5; "центры" окружностей
расположены о вершинах правильного треугольника, вписанного в больший
круг), и для вычисления r, как это ни странно, годится та же формула,
которую мы доказали для 3  n 5
r =  = .
|
Ответ
n=3, 4 и 5.
Источники и прецеденты использования
