Задача 78563

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Многочлены (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

Решение

Заметим, что если  q > 2,  то     Пусть наш многочлен P(x) имеет степень n:  P(x) = xⁿ + ... .  Тогда при
|x| > 2   |P(x)| ≥ |xⁿ| – |P(x) – xⁿ| ≥ |xⁿ| – (|x^n–1| + |x^n–2| + ... + |x| + 1) > 1 > 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	28
Год	1965
вариант
	1
Класс	11
Тур	1
задача
Номер	1