|
|
 |
Условие
В квадратном уравнении x² + px + q коэффициенты p, q независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.
Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.
Решение 1
Наибольшее возможное значение m корня такого уравнения равно
Это значение достигается для уравнения x² – x – 1. Очевидно, наибольшее возможное значение корня уравнения, удовлетворяющего условиям, равно – m.
Пусть |p| ≤ 1. Тогда pm – корень уравнения x² – px – p², которое тоже удовлетворяет условиям. Следовательно, корни даже уравнений такого вида пробегают весь отрезок [– m, m].
Решение 2
Переформулируем задачу: при каких значениях u найдётся такое v, что |u + v| ≤ 1 и |uv| ≤ 1 (u, v – корни нашего уравнения). Нарисовав на плоскости соответствующие множества, увидим, что их пересечение – криволинейный четырёхугольник, центрально симметричный относительно начала координат. Абсцисса m его крайней правой точки – больший корень уравнения 1 – m = – 1/m. Следовательно, u принимает все значения между – m и m.
Ответ
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многочлены |
| Тема | Многочлены |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Квадратный трехчлен |
| Тема | Неизвестная тема |
| задача | |
| Номер | 06.030 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 28 |
| Год | 1965 |
| вариант | |
| 1 | |
| Класс | 11 |
| Тур | 1 |
| задача | |
| Номер | 3 |
