ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78565
Темы:    [ Фазовая плоскость коэффициентов ]
[ Квадратные уравнения. Формула корней ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадратном уравнении  x² + px + q  коэффициенты p, q независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.
Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.


Решение 1

  Наибольшее возможное значение m корня      такого уравнения равно      Это значение достигается для уравнения  x² – x – 1.  Очевидно, наибольшее возможное значение корня уравнения, удовлетворяющего условиям, равно – m.
  Пусть  |p| ≤ 1.  Тогда pm – корень уравнения  x² – px – p²,  которое тоже удовлетворяет условиям. Следовательно, корни даже уравнений такого вида пробегают весь отрезок  [– m, m].


Решение 2

  Переформулируем задачу: при каких значениях u найдётся такое v, что  |u + v| ≤ 1  и  |uv| ≤ 1  (u, v – корни нашего уравнения). Нарисовав на плоскости соответствующие множества, увидим, что их пересечение – криволинейный четырёхугольник, центрально симметричный относительно начала координат. Абсцисса m его крайней правой точки – больший корень уравнения  1 – m = – 1/m.  Следовательно, u принимает все значения между – m и m.


Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 1
Название Квадратный трехчлен
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.030
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 28
Год 1965
вариант
1
Класс 11
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .