|
|
 |
Условие
Существуют ли два таких последовательных натуральных числа, что сумма цифр
каждого из них делится на 125?
Найти наименьшую пару таких чисел или доказать, что их не существует.
Решение
При переносе через разряд в числе, оканчивающемся ровно на k девяток, сумма цифр уменьшается на 9k – 1. Пусть – меньшее число в искомой паре (an ≠ 9). Тогда 9k – 1 делится на 125. Следовательно, 9k ≡ 1 (mod 125). Обозначим через S(X) сумму цифр числа X. Так как
S(N) ≡ 0 (mod 125) и то
Таким образом, числа S(N) и S(N + 1) делятся на 125 тогда и только тогда, когда 9k ≡ 1 (mod 125) и S(a1...an) ≡ 124 (mod 125).
Так как условия на числа k и a1...an независимы, то можно отдельно минимизировать k и a1...an. Из того, что 9k ≡ 1 ≡ 126 (mod 125), следует, что
k ≡ 14 (mod 125), а значит, наименьшее возможное значение k равно 14.
Так как a1 + ... + an ≡ 124 (mod 125), то a1 + ... + an ≥ 124. Учитывая, что ai ≤ 9, получаем, что n ≥ 14. Поскольку число с большим количеством цифр всегда больше числа с меньшим количеством цифр, в искомой паре n = 14. Следовательно, среди цифр a1, ..., an либо одна семёрка, а остальные – девятки, либо две восьмёрки, а остальные – девятки. Цифра a1 не может быть равна 7, так как в этом случае an = a14 = 9. Таким образом, минимальное значение a1 равно 8. Учитывая, что в этом случае в числе a1...an ровно две восьмёрки, одна из которых должна стоять на последнем месте, а другая – на первом, получаем, что минимальное значение a1...an равно Итак, минимальное значение числа N равно
Ответ
