Задача 78606

Темы:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Можно ли разрезать квадратный пирог на 9 равновеликих частей таким способом: выбрать внутри квадрата две точки и соединить каждую из них прямолинейными разрезами со всеми четырьмя вершинами квадрата? Если можно, то какие две точки нужно выбрать?

Решение

Предположим, что можно выбрать две точки требуемым образом. Отрезки, соединяющие одну из этих точек с вершинами квадрата, разбивают квадрат на 4 треугольника. При этом сумма площадей треугольников, примыкающих к каждой паре противоположных сторон квадрата, равна 1/2. Отрезки, соединяющие вторую выбранную точку с вершинами квадрата, разбивают одну из этих пар треугольников на 4 части, а другую — на 5 частей. С одной стороны, сумма четырёх частей равна , а с другой стороны, она должна быть равна . Приходим к противоречию.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	2