ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78612
Темы:    [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Объем помогает решить задачу ]
[ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
[ Объем круглых тел ]
[ Неравенства с объемами ]
Сложность: 6
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.

Решение

Докажем сначала две леммы.

Лемма. Объём множества точек, удалённых от круга $ \omega$ радиуса r не более чем на расстояние d, не превосходит 2$ \pi$d (r + d )2.

Доказательство леммы. Если расстояние от некоторой точки P до круга $ \omega$ не превосходит d, то расстояние от этой точки до плоскости, содержащей круга $ \omega$, не превосходит d, а значит, точка P лежит в полосе ширины 2d. Кроме того, расстояние от проекции этой точки до круга не превосходит d, а значит, точка P лежит в бесконечном в обе стороны цилиндре, основанием которого является круг радиуса r + d, концентрический $ \omega$. Следовательно, точка P лежит в цилиндре с радиусом основания r + d и высотой 2d. Таким образом, объём множества точек, удалённых от $ \omega$ не более, чем на d, не превосходит объёма получившегося цилиндра, то есть 2$ \pi$d (r + d )2. Лемма доказана.

Лемма. Дан набор плоскостей $ \alpha_{i}^{}$ }i = 1n в пространстве. Тогда для любого R в пространстве существует точка, расстояние от которой до каждой из плоскостей набора больше R.

Доказательство леммы. Будем обозначать через Br(A) шар радиуса r с центром в точке A. Фиксируем точку O. Докажем, что при достаточно большом M в шаре BM(O) найдётся искомая точка. Пусть $ \omega_{i}^{}$ — пересечение плоскости $ \alpha_{i}^{}$ с шаром BM + R(O). Заметим, что если точка P $ \in$ BM(O) удалена от плоскости $ \alpha_{i}^{}$ на расстояние, не превосходящее R, то расстояние от этой точки до $ \omega_{i}^{}$ также не превосходит R. Так как круг $ \omega_{i}^{}$ является сечением шара радиуса M + R, то её радиус не превосходит M + R. По предыдущей лемме отсюда получаем, что объём множества точек шара BM, удалённых от плоскости $ \alpha_{i}^{}$ не более, чем на R, не превосходит 2$ \pi$R(M + 2R)2. Следовательно, объём множества точек шара BM, удалённых от одной из плоскостей $ \alpha_{i}^{}$ не более, чем на R, не превосходит 2n$ \pi$R(M + 2R)2. Но при достаточно больших M это меньше, чем объём шара BM, равный $ {\frac{4}{3}}$$ \pi$M3. Лемма доказана.

Перейдём теперь к решению задачи. Сначала найдём в пространстве точку P такую, что расстояние от неё до каждой из данных плоскостей больше 100. Тогда шар с центром в этой точке радиуса 100 не пересекает ни одну из данных плоскостей. Неразрезанной является, например, любая изюминка, центр которой удалён от точки P не более, чем на 90.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 30
Год 1967
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .