Информация о задаче

Задача 78612

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Объем круглых тел	]
	[	Неравенства с объемами	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.

Решение

Докажем сначала две леммы.

Лемма. Объём множества точек, удалённых от круга $\omega$ радиуса r не более чем на расстояние d, не превосходит 2 $\pi$ d (r + d )².

Доказательство леммы. Если расстояние от некоторой точки P до круга $\omega$ не превосходит d, то расстояние от этой точки до плоскости, содержащей круга $\omega$ , не превосходит d, а значит, точка P лежит в полосе ширины 2d. Кроме того, расстояние от проекции этой точки до круга не превосходит d, а значит, точка P лежит в бесконечном в обе стороны цилиндре, основанием которого является круг радиуса r + d, концентрический $\omega$ . Следовательно, точка P лежит в цилиндре с радиусом основания r + d и высотой 2d. Таким образом, объём множества точек, удалённых от $\omega$ не более, чем на d, не превосходит объёма получившегося цилиндра, то есть 2 $\pi$ d (r + d )². Лемма доказана.

Лемма. Дан набор плоскостей { $\alpha_{i}^{}$ }_{i = 1}ⁿ в пространстве. Тогда для любого R в пространстве существует точка, расстояние от которой до каждой из плоскостей набора больше R.

Доказательство леммы. Будем обозначать через B_r(A) шар радиуса r с центром в точке A. Фиксируем точку O. Докажем, что при достаточно большом M в шаре B_M(O) найдётся искомая точка. Пусть $\omega_{i}^{}$ — пересечение плоскости $\alpha_{i}^{}$ с шаром B_{M + R}(O). Заметим, что если точка P $\in$ B_M(O) удалена от плоскости $\alpha_{i}^{}$ на расстояние, не превосходящее R, то расстояние от этой точки до $\omega_{i}^{}$ также не превосходит R. Так как круг $\omega_{i}^{}$ является сечением шара радиуса M + R, то её радиус не превосходит M + R. По предыдущей лемме отсюда получаем, что объём множества точек шара B_M, удалённых от плоскости $\alpha_{i}^{}$ не более, чем на R, не превосходит 2 $\pi$ R(M + 2R)². Следовательно, объём множества точек шара B_M, удалённых от одной из плоскостей $\alpha_{i}^{}$ не более, чем на R, не превосходит 2n $\pi$ R(M + 2R)². Но при достаточно больших M это меньше, чем объём шара B_M, равный ${\frac{4}{3}}$ $\pi$ M³. Лемма доказана.

Перейдём теперь к решению задачи. Сначала найдём в пространстве точку P такую, что расстояние от неё до каждой из данных плоскостей больше 100. Тогда шар с центром в этой точке радиуса 100 не пересекает ни одну из данных плоскостей. Неразрезанной является, например, любая изюминка, центр которой удалён от точки P не более, чем на 90.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	4