ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78613
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из первых k простых чисел  2, 3, 5, ..., pk  (k > 5)  составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например,  3·5, 3·7·... ·pk, 11  и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что  S + 1  разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.


Решение

Ясно, что  S + 1 = (2 + 1)(3 + 1)...(pk + 1).  Сумма в каждой скобке, кроме первой, чётна, поэтому она разлагается по крайней мере на два простых множителя. Несложные вычисления показывают, что при  k = 5  число  S + 1  разлагается в произведение 11 простых множителей. Поэтому при  k > 5  число множителей не меньше чем  11 + 2(k – 5) > 2k.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 30
Год 1967
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .