Условие
Доказать, что существует число
q такое, что в десятичной записи числа
q . 2
1000 нет ни одного нуля.
Решение
Докажем индукцией по
n, что существует число из
n цифр, в записи которого
встречаются только единицы и двойки и которое делится на 2
n. При
n = 1 мы
берём число 2. Предположим теперь, что для данного
n построено требуемое
число
a . 2
n. Припишем к этому числу слева цифру 1 или 2, т. е.
рассмотрим числа
10
n +
a . 2
n = 2
n(5
n +
a) и
2
. 10
n +
a . 2
n = 2
n(2
. 5
n +
a). Одно из этих чисел делится на
2
n + 1, поскольку одно из чисел 5
n +
a и
2
. 5
n +
a чётно.
Источники и прецеденты использования
