Задача 78616
|
|
 |
Условие
Доказать, что существует число q такое, что в десятичной записи числа
q . 21000 нет ни одного нуля.
Решение
Докажем индукцией по n, что существует число из n цифр, в записи которого встречаются только единицы и двойки и которое делится на 2n. При n = 1 мы берём число 2. Предположим теперь, что для данного n построено требуемое число a . 2n. Припишем к этому числу слева цифру 1 или 2, т. е. рассмотрим числа 10n + a . 2n = 2n(5n + a) и 2 . 10n + a . 2n = 2n(2 . 5n + a). Одно из этих чисел делится на 2n + 1, поскольку одно из чисел 5n + a и 2 . 5n + a чётно.
