Условие
На каждой стороне прямоугольного треугольника построено по квадрату (пифагоровы
штаны), и вся фигура вписана в круг. Для каких прямоугольных треугольников это
можно сделать?
Решение
Ответ: для равнобедренных.
Проведём серединные перпендикуляры к сторонам квадратов, противолежащих
сторонам треугольника. С одной стороны, они должны пересекаться в центре
описанной окружности. С другой стороны, они пересекаются в середине
гипотенузы. Поэтому нужно выяснить, в каком случае расстояния от середины
гипотенузы до вершин квадратов, лежащих на описанной окружности, равны. Если
катеты прямоугольного треугольника равны 2
a и 2
b, то эти расстояния равны
,
и
. Они равны
тогда и только тогда, когда
a =
b, т. е. треугольник равнобедренный.
Источники и прецеденты использования
