Задача 78620

Тема:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

На каждой стороне прямоугольного треугольника построено по квадрату (пифагоровы штаны), и вся фигура вписана в круг. Для каких прямоугольных треугольников это можно сделать?

Решение

Ответ: для равнобедренных. Проведём серединные перпендикуляры к сторонам квадратов, противолежащих сторонам треугольника. С одной стороны, они должны пересекаться в центре описанной окружности. С другой стороны, они пересекаются в середине гипотенузы. Поэтому нужно выяснить, в каком случае расстояния от середины гипотенузы до вершин квадратов, лежащих на описанной окружности, равны. Если катеты прямоугольного треугольника равны 2a и 2b, то эти расстояния равны , и . Они равны тогда и только тогда, когда a = b, т. е. треугольник равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	30
Год	1967
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	3