Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?
Расшифруйте ребус: КИС+КСИ=ИСК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.
На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные.
Если у Носорога на левом боку a вертикальных, b горизонтальных складок, а на правом – c вертикальных и d горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии (abcd)
или просто Носорог (abcd).
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки
разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется две новые складки: одна вертикальная и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком о случайные баобабы в случайных направлениях.
а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и
данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников
A1...An с данными
величинами углов Ai и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный
n-угольник.
В равнобедренной трапеции ABCD большее основание AD = 12, AB = 6. Найдите расстояние от точки O пересечения диагоналей до точки K пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.
Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса
Из пункта A одновременно вылетают 100 самолетов (флагманский и 99 дополнительных). С полным баком горючего самолет может пролететь 1000 км. В полёте самолеты могут передавать друг другу горючее. Самолет, отдавший горючее другим, совершает планирующую посадку. Каким образом надо совершать перелёт, чтобы флагман пролетел возможно дальше?
|
|
 |
Условие
Из пункта A одновременно вылетают 100 самолетов (флагманский и 99 дополнительных). С полным баком горючего самолет может пролететь 1000 км. В полёте самолеты могут передавать друг другу горючее. Самолет, отдавший горючее другим, совершает планирующую посадку. Каким образом надо совершать перелёт, чтобы флагман пролетел возможно дальше?
Решение
Опишем оптимальную процедуру обмена горючим. Сначала вылетают 100 самолётов с полным баком. Как только появляется возможность, один из самолётов разливает горючее другим, после чего становится 99 самолётов с полным баком,
а освободившийся самолёт совершает посадку. До этого момента самолёты
пролетят 1000·1/100 км. Аналогичным образом, когда появляется возможность, ещё один самолёт разливает своё горючее оставшимся (до этого момента самолёты пролетят ещё 1000·1/99 км) и т.д. В последний раз горючее переливается флагману.
В результате этого процесса флагман пролетит
1000·(1 + 1/2 + ... + 1/100) ≈ 5187 км.
Теперь покажем оптимальность описанной выше процедуры. Примем за единицу горючего бак самолёта, за единицу времени – время, за которое самолёт пролетает 1000 км, за единицу расстояния – 1000 км. Если в воздухе находится N самолётов, то скорость сгорания горючего равна N. Если общий объём горючего в баках равен V, то в воздухе находится не менее чем самолётов, а значит, и скорость сжигания горючего не меньше чем
. Забудем теперь о самолётах, а будем помнить только то, что скорость сжигания горючего не меньше верхней целой части объёма горючего. Нам надо, чтобы горючее горело как можно дольше. Но тогда его невыгодно жечь быстрее, чем со скоростью
. Действительно, если некоторое время мы жгли горючее быстрее, чем со скоростью
, то при сжигании горючего со скоростью
за это время мы сожгли бы меньше горючего, а значит, тот же объём горючего закончится через большее время.
Замечания
– наименьшее целое число, не меньшее x.
