У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого  — четыре. Как это могло быть?

   Решение

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

   Решение

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Прямая проходящая через середину его высоты $CH$ и вершину $A$ пересекает $CB$ в точке $K$. Пусть $L$ – середина $BC$, а $T$ – точка на отрезке $AB$ такая, что $\angle ATK=\angle LTB$. Известно, что $BC=1$. Найдите периметр треугольника $KTL$.

   Решение

В пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые, l₁, l₂, l₃, l₄, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость P так, чтобы точки A₁, A₂, A₃, A₄ пересечения этих прямых с P образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?

   Решение

Темы:    [ Скрещивающиеся прямые и ГМТ ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Cерединный перпендикуляр и ГМТ ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые, l₁, l₂, l₃, l₄, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость P так, чтобы точки A₁, A₂, A₃, A₄ пересечения этих прямых с P образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?

Решение

Будем искать плоскости , для которых четырёхугольник  A₁A₂A₃A₄ — параллелограмм. Для этого необходимо и достаточно, чтобы середина отрезка A₁A₃ совпадала с серединой отрезка A₂A₄. По определению середина отрезка A₁A₃ лежит в серединной плоскости прямых l₁ и l₃, а середина отрезка A₂A₄ — в серединной плоскости прямых l₂ и l₄. По условию никакие три прямые не параллельны одной плоскости, а значит^ эти серединные плоскости не параллельны и не совпадают. Обозначив через l прямую их пересечения, получим, что общая середина отрезков A₁A₃ и A₂A₄ есть точка пересечения плоскости  с прямой l. Докажем, что для каждой точки L l найдётся ровно одна плоскость , проходящая через точку L, для которой четырёхугольник  A₁A₂A₃A₄ — параллелограмм. Это следует из того, что каждая точка серединной плоскости двух скрещивающихся прямых является серединой ровно одного отрезка с концами на этих прямых (таким образом, выбор отрезков A₁A₃ и A₂A₄ возможен и однозначен), а через две пересекающиеся прямые можно провести ровно одну плоскость. Таким образом, для каждого выбора того, какие вершины в параллелограмме, образованном A_i, i = 1,..., 4, противоположны, все искомые плоскости параметризуются точками прямой пересечения серединных плоскостей пар прямых, соответствующих противоположным вершинам.

Ответ

3

Источники и прецеденты использования