Докажите, что если a и b – целые числа и  b ≠ 0,  то существует единственная пара чисел q и r, для которой  a = bq + r,  0 ≤ r < |b|.

   Решение

Число x таково, что число x +  — целое. Докажите, что при любом натуральном n число xⁿ + также является целым.

   Решение

Сколько существует восьмизначных чисел, в записи которых цифры идут в порядке убывания?

   Решение

Решить уравнение  x³ – [x] = 3.

   Решение

Темы:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

Решение

Ответ: можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить нельзя. При каждом разрезании общее число кусков бумаги увеличивается на 1 (так как один кусок пропадает и появляются два новых), поэтому после n разрезов будет (n + 1) кусков бумаги. Подсчитаем теперь, каким может быть общее число вершин во всех кусках вместе после n разрезов. При каждом разрезании общее число вершин увеличивается либо на 2 (если резали через две вершины), либо на 3 (если резали через вершину и сторону), либо на 4 (если резали через 2 стороны). Так как сначала было 4 вершины, то после n разрезов во всех кусках вместе будет не больше чем 4n + 4 вершины. Предположим, что после N разрезов получилось 100 двадцатиугольников. Так как при этом общее число полученных кусков будет N + 1, то, кроме этих двадцатиугольников, будет ещё N + 1 - 100 кусков. Каждый из этих кусков будет иметь не меньше трёх вершин, поэтому общее число вершин во всех кусках будет не меньше чем 100 ^. 20 + (N - 99) ^. 3. Как было доказано раньше, это число не больше чем 4N + 4. Значит, 4N + 4 ≥ 100 · 20 + (N − 99)·3 = 3N + 1703, откуда N ≥ 1699. Итак, мы доказали, что нельзя получить 100 двадцатиугольников, сделав меньше чем 1699 разрезов. Это основная и самая трудная часть доказательства.
Покажем теперь, как можно получить 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов. Вот один из способов: разрежем квадрат на 100 прямоугольников (99 разрезов) и каждый прямоугольник за 16 разрезов превратим в двадцатиугольник, отрезая от углов треугольники (1600 разрезов). Всего будет 1699 разрезов.

Ответ

Можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699 разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить нельзя.

Источники и прецеденты использования