Угол при вершине A треугольника ABC равен 120^o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

   Решение

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

   Решение

Тема:    [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

Решение

Ответ: да, наступит. Легко проверить, что количество бактерий и вирусов будет меняться со временем по следующему закону: Таблица 1.

Время (минуты)	Кол-во вирусов	Кол-во бактерий
0	1	n
1	2	2(n - 1)
2	22	22(n - 2)
3	23	23(n - 3)
...	...	...
t	2t	2t(n - t)
t + 1	2t + 1	2t + 1(n - t - 1)
...	...	...

Отсюда ясно, что при t = n количество бактерий обратится в нуль — колония погибнет.

Источники и прецеденты использования