ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба? Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Постройте окружность с данным центром, касающуюся
данной окружности.
Даны отрезки, длины которых равны a, b и c. Постройте
отрезок длиной: a) ab/c; б) Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма? Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD можно
вписать в окружность тогда и только тогда, когда
Постройте треугольник ABC по стороне a, высоте ha и
углу A.
В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника KLMN.
В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).
Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники PKM,
вершина P которых фиксирована, а вершина K лежит в данном
квадрате. Найдите геометрическое место вершин M.
Озеро имеет форму невыпуклого |
Задача 78821
УсловиеОзеро имеет форму невыпуклого РешениеИтак, имеется несамопересекающийся невыпуклый n-угольник P. Рассмотрим множество T его внутренних точек, из которых видны все вершины P. Докажем, что T — выпуклый многоугольник, число сторон которого не больше n. Каждой стороне AB многоугольника P поставим в соответствие полуплоскость, граница которой есть прямая AB (из двух таких полуплоскостей мы выбираем ту, которая содержит достаточно близкие к AB внутренние точки многоугольника P). Число таких полуплоскостей равно числу сторон P, что равно n. Тем самым, в пересечении всех таких полуплоскостей получается выпуклый многоугольник T с количеством сторон не большим n. Докажем, что многоугольник T и является искомым. Во-первых, заметим, что если точка не содержится в какой-нибудь из рассмотренных полуплоскостей, то из неё не видно одной из вершин соответствующей стороны. Во-вторых, докажем, что из любой точки многоугольника T видны все вершины многоугольника P. Предположим противное. Пусть точка B принадлежит T, но из B не видно вершину A. Это значит, что отрезок AB пересекает стороны многоугольника P. Если часть отрезка AB, прилегающая к вершине A, лежит вне многоугольника, то точка B не принадлежит полуплоскости, соответствующей стороне многоуголника с вершиной A. Иначе рассмотрим сторону многоугольника ближайшую к точке A и пересекающую AB, тогда точка B не принадлежит полуплоскости, соответствующей этой стороне. Получили противоречие. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке