Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов.
Сколькими способами это может быть сделано?

Вниз   Решение


Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?

ВверхВниз   Решение


Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

ВверхВниз   Решение


Постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.

ВверхВниз   Решение


Даны отрезки, длины которых равны a, b и c. Постройте отрезок длиной: a) ab/c; б) $ \sqrt{ab}$.

ВверхВниз   Решение


Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда  $ \angle$ABC + $ \angle$CDA = 180o.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник ABC по стороне a, высоте ha и углу A.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника KLMN.

ВверхВниз   Решение


В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).

ВверхВниз   Решение


Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники PKM, вершина P которых фиксирована, а вершина K лежит в данном квадрате. Найдите геометрическое место вершин M.

ВверхВниз   Решение


Озеро имеет форму невыпуклого n-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого m-угольника, где mn.

Вверх   Решение

Задача 78821
Темы:    [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ ГМТ с ненулевой площадью ]
[ Невыпуклые многоугольники ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Озеро имеет форму невыпуклого n-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого m-угольника, где mn.

Решение

Итак, имеется несамопересекающийся невыпуклый n-угольник P. Рассмотрим множество T его внутренних точек, из которых видны все вершины P. Докажем, что T — выпуклый многоугольник, число сторон которого не больше n.

Каждой стороне AB многоугольника P поставим в соответствие полуплоскость, граница которой есть прямая AB (из двух таких полуплоскостей мы выбираем ту, которая содержит достаточно близкие к AB внутренние точки многоугольника P). Число таких полуплоскостей равно числу сторон P, что равно n. Тем самым, в пересечении всех таких полуплоскостей получается выпуклый многоугольник T с количеством сторон не большим n. Докажем, что многоугольник T и является искомым. Во-первых, заметим, что если точка не содержится в какой-нибудь из рассмотренных полуплоскостей, то из неё не видно одной из вершин соответствующей стороны. Во-вторых, докажем, что из любой точки многоугольника T видны все вершины многоугольника P. Предположим противное. Пусть точка B принадлежит T, но из B не видно вершину A. Это значит, что отрезок AB пересекает стороны многоугольника P. Если часть отрезка AB, прилегающая к вершине A, лежит вне многоугольника, то точка B не принадлежит полуплоскости, соответствующей стороне многоуголника с вершиной A. Иначе рассмотрим сторону многоугольника ближайшую к точке A и пересекающую AB, тогда точка B не принадлежит полуплоскости, соответствующей этой стороне. Получили противоречие.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М161
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 35
Год 1972
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .