Задача 79247
|
|
 |
Условие
Многочлен P(x) с целыми коэффициентами при некоторых целых x принимает значения 1, 2 и 3.
Доказать, что существует не более одного целого x, при котором значение этого многочлена равно 5.
Решение
Предположим, что P(x1) = 1, P(x2) = 2, P(x3) = 3, причём x1, x2 и x3 – целые числа. Тогда |x1 − x2| = 1 и |x2 − x3| = 1 (см. решение задачи 79243). Поэтому x1, x2, x3 или x3, x2, x1 – последовательные целые числа. Предположим, что P(x) = 5, причём x – целое. Тогда 2 делится на |x3 − x| и 3 делится на |x2 − x| (см. решение задачи 35562). Если x1, x2, x3 – последовательные целые числа, то x = x3 + 2, а если x3, x2, x1 – последовательные целые числа, то
x = x3 − 2.
