Задача 79248
|
|
 |
Условие
Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым
числом сторон.
Решение
Предположим, что любые две грани некоторого выпуклого многогранника имеют различное число сторон. Рассмотрим ту грань Г, у которой число сторон наибольшее; пусть оно равно m. Следовательно, число сторон у любой из остальных граней строго меньше m. Значит, и количество оставшихся граней строго меньше m (ведь даже если бы существовали 1-угольники и 2-угольники, мы смогли бы набрать всего лишь m − 1 разных многоугольников). С другой стороны, к грани Г примыкают ровно m других граней многогранника (к каждой стороне — по одной). Мы получили противоречие. Стало быть, какие-то две грани обязательно имеют равное число сторон.
