ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79254
Темы:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Круг, сектор, сегмент и проч. ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Блох А.

На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили полученные два числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?

Решение

Пусть A — точка кляксы, наименьшее расстояние от которой до границы кляксы равно r0 — наибольшему из наименьших расстояний. Тогда круг радиуса r0 с центром в точке A содержится внутри кляксы (если бы этот круг не содержался полностью внутри кляксы, то какая-то точка границы кляксы оказалась бы внутри круга, и расстояние до неё от точки A было бы меньше r0, что противоречит выбору r0). Аналогично, если В — точка кляксы, наибольшее расстояние от которой до границы кляксы равно R0 — наименьшему из наибольших, то вся клякса содержится в круге радиуса R0 с центром в точке В. Итак, первый построенный круг содержится в кляксе, а клякса в свою очередь содержится во втором круге. Но по условию

r0 = R0 = ρ.

откуда следует, что круги совпадают; значит, совпадают и точки A и В, а клякса имеет форму круга с центром в точке A(= B) радиуса ρ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М221
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 36
Год 1973
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .