|
|
 |
Условие
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что отношение максимальной скорости полицейского и максимальной скорости гангстера равно: а) 0,5; б) 0,49; в) 0,34; г) ⅓. Сможет ли полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером?
Решение
Пусть u и v – максимальные скорости полицейского и гангстера. Введём систему координат с началом в центре исходного квадрата ABCD и осями, параллельными его сторонам. Положим сторону квадрата ABCD равной 6 м и будем считать, что максимальная скорость гангстера v = 3 (м/мин) (нам ведь важно лишь отношение u : v). Точки, в которых находятся полицейский и гангстер, обозначим через П(хП, yП) и Г(xГ, yГ), соответственно. Обозначим через Г' точку с координатами (⅓ xГ, ⅓ yГ); если точка Г движется по контуру квадрата ABCD со скоростью 3, то Г' движется по контуру квадрата со стороной 2 со скоростью 1.
а-в) Докажем, что полицейский достигнет своей цели (то есть окажется с гангстером на одной стороне квадрата; будем говорить, что в этом случае он ловит гангстера). Полицейский будет ловить гангстера в несколько этапов.
Первый этап. Полицейский догоняет Г'. Это всегда можно сделать, так как u > 1. Первый этап заканчивается, когда точки П и Г' совпадают.Второй этап. Можно считать без ограничения общности, что к концу первого этапа точка Г окажется на стороне AВ; тогда 3xП = xГ. На протяжении всего второго этапа полицейский должен двигаться таким образом, чтобы всё время выполнялось равенство 3xП = xГ; для этого необходимо и достаточно, чтобы то же соотношение все время имело место для горизонтальных составляющих скоростей полицейского и гангстера. При этом по вертикали полицейский может двигаться к стороне AB со скоростью
1) Г остаётся все время на AB. Тогда П через некоторое время достигнет AB, и гангстер будет пойман. 2) В какой-то момент Г уйдёт со стороны AB. Как только Г достигнет границы AB (будем считать, точки B) начинается
Третий этап. К началу этого этапа точки Г и B совпадают, а точка П находится от каждой из сторон AB и BC на расстоянии, не большем 2. На третьем этапе полицейский должен с максимальной скоростью приближаться по перпендикуляру к той стороне, на которой находится гангстер (если Г находится в B, то безразлично, к какой именно, – к стороне AB или же к стороне BC). Чтобы добежать из точки B до точки A или до точки С, гангстеру понадобится 2 минуты, а полицейскому, чтобы достигнуть соответствующей стороны (AB или BС), понадобится меньше 2 минут. Следовательно, полицейский поймает гангстера на одной из сторон AB или BC.
г) Покажем, что при u = 1 м/мин гангстер может выбрать такую стратегию, при которой полицейский не сумеет его догнать. Проведём прямые A'B', C'D', параллельные стороне AB, и прямые A"D", B"C", параллельные BC, так, чтобы AA' = BB' = CC' = DD' = AA" = BB" = CC" = DD" = 1 (рис. слева). Пусть в самом начале гангстер Г находится в середине стороны AB, а полицейский П – над прямой A'B'. Проведём между П и A'B' вспомогательную прямую A1B1, параллельную AB (рис. справа).
Пусть при этом xП ≤ 0 (случай xП ≥ 0 симметричен). Тогда Г перебегает в середину отрезка BC. На это ему требуется 2 минуты. За первую минуту (пока ганстер находится на AB) полицейский не успеет добежать до прямой AB и, значит, не сможет поймать Г на стороне AB. Кроме того, за 2 минуты он не успеет добежать до прямой B"C".
Итак, мы пришли к конфигурации, эквивалентной начальной: Г – в середине стороны BC, а П – левее прямой B"C". При этом прошло более 2 минут.
Дальнейшее поведение Г аналогично описанному выше. Очевидно, что при такой стратегии гангстера полицейский не поймает его ни за какое конечное время.
Замечания
1. В условии задачи, приведённом в книге Г. Гальперина и А. Толпыго "Московские математические олимпиады", ошибочно утверждается, что и в г) полицейский может поймать гангстера.
2. В Задачнике "Кванта" предлагается также доказать, что при 3u < v гангстер может "убежать" от полицейского. Это, очевидно, следует из г).
