ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79256
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Подобные фигуры ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Белкин А.

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что отношение максимальной скорости полицейского и максимальной скорости гангстера равно:   а) 0,5;   б) 0,49;   в) 0,34;   г) ⅓.   Сможет ли полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером?


Решение

  Пусть u и v – максимальные скорости полицейского и гангстера. Введём систему координат с началом в центре исходного квадрата ABCD и осями, параллельными его сторонам. Положим сторону квадрата ABCD равной 6 м и будем считать, что максимальная скорость гангстера  v = 3 (м/мин)  (нам ведь важно лишь отношение  u : v).  Точки, в которых находятся полицейский и гангстер, обозначим через  П(хП, yП)  и  Г(xГ, yГ),  соответственно. Обозначим через Г' точку с координатами  (⅓ xГ, ⅓ yГ);  если точка Г движется по контуру квадрата ABCD со скоростью 3, то Г' движется по контуру квадрата со стороной 2 со скоростью 1.

  а-в) Докажем, что полицейский достигнет своей цели (то есть окажется с гангстером на одной стороне квадрата; будем говорить, что в этом случае он ловит гангстера). Полицейский будет ловить гангстера в несколько этапов.

  Первый этап. Полицейский догоняет Г'. Это всегда можно сделать, так как  u > 1.  Первый этап заканчивается, когда точки П и Г' совпадают.
  Второй этап. Можно считать без ограничения общности, что к концу первого этапа точка Г окажется на стороне ; тогда  3xП = xГ.  На протяжении всего второго этапа полицейский должен двигаться таким образом, чтобы всё время выполнялось равенство  3xП = xГ;  для этого необходимо и достаточно, чтобы то же соотношение все время имело место для горизонтальных составляющих скоростей полицейского и гангстера. При этом по вертикали полицейский может двигаться к стороне AB со скоростью     Возможны два случая.
  1) Г остаётся все время на AB. Тогда П через некоторое время достигнет AB, и гангстер будет пойман.

  2) В какой-то момент Г уйдёт со стороны AB. Как только Г достигнет границы AB (будем считать, точки B) начинается
  Третий этап. К началу этого этапа точки Г и B совпадают, а точка П находится от каждой из сторон AB и BC на расстоянии, не большем 2. На третьем этапе полицейский должен с максимальной скоростью приближаться по перпендикуляру к той стороне, на которой находится гангстер (если  Г находится в B,  то безразлично, к какой именно, – к стороне AB или же к стороне BC). Чтобы добежать из точки B до точки A или до точки С, гангстеру понадобится 2 минуты, а полицейскому, чтобы достигнуть соответствующей стороны (AB или ), понадобится меньше 2 минут. Следовательно, полицейский поймает гангстера на одной из сторон AB или BC.

  г) Покажем, что при  u = 1 м/мин   гангстер может выбрать такую стратегию, при которой полицейский не сумеет его догнать. Проведём прямые A'B', C'D', параллельные стороне AB, и прямые A"D", B"C", параллельные BC, так, чтобы  AA' = BB' = CC' = DD' = AA" = BB" = CC" = DD" = 1  (рис. слева). Пусть в самом начале гангстер Г находится в середине стороны AB, а полицейский П – над прямой A'B'. Проведём между П и A'B' вспомогательную прямую A1B1, параллельную AB (рис. справа).

  Опишем теперь стратегию гангстера. Пока полицейский находится выше прямой A1B1, гангстер остаётся на месте – в середине AB. Рано или поздно полицейский достигнет A1B1 (иначе он никогда не поймает гангстера).
  Пусть при этом  xП ≤ 0  (случай  xП ≥ 0  симметричен). Тогда Г перебегает в середину отрезка BC. На это ему требуется 2 минуты. За первую минуту (пока ганстер находится на AB) полицейский не успеет добежать до прямой AB и, значит, не сможет поймать Г на стороне AB. Кроме того, за 2 минуты он не успеет добежать до прямой B"C".
  Итак, мы пришли к конфигурации, эквивалентной начальной: Г – в середине стороны BC, а П – левее прямой B"C". При этом прошло более 2 минут.
  Дальнейшее поведение Г аналогично описанному выше. Очевидно, что при такой стратегии гангстера полицейский не поймает его ни за какое конечное время.

Замечания

1. В условии задачи, приведённом в книге Г. Гальперина и А. Толпыго "Московские математические олимпиады", ошибочно утверждается, что и в г) полицейский может поймать гангстера.

2. В Задачнике "Кванта" предлагается также доказать, что при  3u < v  гангстер может "убежать" от полицейского. Это, очевидно, следует из г).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М229
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 36
Год 1973
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .