Задача 79257
|
|
 |
Условие
Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна из его сторон будет совпадать со стороной пятиугольника, а весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.Решение
Предположим, что для некоторого равностороннего выпуклого пятиугольника ABCDE со стороной, равной единице, утверждение задачи неверно. Можно считать, что наибольшая из диагоналей — AD, что точки A и D лежат на горизонтальной прямой (D правее A), точки В и С — в её верхней полуплоскости, причём С не ближе к прямой AD, чем В. Ясно, что
1 < |AD| < |AE| + |ED| = 2.
Поскольку в треугольниках ABD и ACD
сторона AD — наибольшая, углы ABD и ACD, а тем более ABC и BCD все больше 60o, следовательно, равносторонние треугольники, построенные на сторонах AB, BC и CD, должны пересекаться отрезком AD (ведь каждый из них, по предположению, пересекается контуром пятиугольника, а отрезками AB, BC и CE эти треугольники пересечься не могут). Таким
образом, углы BAD и CDA меньше 60o.
Отметим на отрезке AD точки B1, C1 и на его продолжении — точку С3, для которых |AB1| = |C1D| = |B1C3| = 1, и построим в верхней полуплоскости разносторонние треугольники AB1В2, C1DC2, B1C3C4. Точка В должна лежать где-то на дуге В1В2 с центром A, точка С — на дуге C1C2 с центром D.
Рассмотрим полосу межды прямыми AD и В2C2. Поскольку |BC| = 1 и С лежит не ниже В (но и не выше, чем на расстоянии
Это решение поддаётся обобщению и позволяет доказать аналогичное утверждение для любого равностороннего выпуклого (2n + 1) - угольника.
