ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79257
Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Пятиугольники ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна из его сторон будет совпадать со стороной пятиугольника, а весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.

Решение

Предположим, что для некоторого равностороннего выпуклого пятиугольника ABCDE со стороной, равной единице, утверждение задачи неверно. Можно считать, что наибольшая из диагоналей — AD, что точки A и D лежат на горизонтальной прямой (D правее A), точки В и С — в её верхней полуплоскости, причём С не ближе к прямой AD, чем В. Ясно, что

1 < |AD| < |AE| + |ED| = 2.

Поскольку в треугольниках ABD и ACD сторона AD — наибольшая, углы ABD и ACD, а тем более ABC и BCD все больше 60o, следовательно, равносторонние треугольники, построенные на сторонах AB, BC и CD, должны пересекаться отрезком AD (ведь каждый из них, по предположению, пересекается контуром пятиугольника, а отрезками AB, BC и CE эти треугольники пересечься не могут). Таким образом, углы BAD и CDA меньше 60o.
Отметим на отрезке AD точки B1, C1 и на его продолжении — точку С3, для которых |AB1| = |C1D| = |B1C3| = 1, и построим в верхней полуплоскости разносторонние треугольники AB1В2, C1DC2, B1C3C4. Точка В должна лежать где-то на дуге В1В2 с центром A, точка С — на дуге C1C2 с центром D.
Рассмотрим полосу межды прямыми AD и В2C2. Поскольку |BC| = 1 и С лежит не ниже В (но и не выше, чем на расстоянии $ \sqrt{3}$/2 от прямой AD), то точка С должна лежать правее дуги C3C4 с центром B1. Но из неравентсва выше следует, что $ \triangle$C1DC2 расположен левее $ \triangle$B1C3C4, поэтому дуга С1С2 расположена левее дуги С3С4. Получили противоречие. Значит, углы BAD и CDA не могут быть одновременно меньше 60o, и существует хотя бы один равносторонний треугольник (построенный либо на стороне AB, либо на BC, либо на CD), который не будет пересекаться контуром пятиугольника.
Это решение поддаётся обобщению и позволяет доказать аналогичное утверждение для любого равностороннего выпуклого (2n + 1) - угольника.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М230
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 36
Год 1973
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .