Задача 79264
|
|
 |
Условие
У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.Решение
Самое простое решение этой задачи основано на понятии скалярного произведения векторов. Напомним, что скалярным произведением векторов a и b называется число
ab = |a| |b| cosφ
где |a| и |b| — длины векторов a и b, φ — угол между ними. Таким образом, угол между a и b острый, прямой или тупой, если соответственно
ab > 0,
ab = 0 и
ab < 0. Конечно, для любых векторов
ab = ba.
Нам потребуется ещё дистрибутивность (распределительное свойство) скалярного
произведения: для любых трёх векторов a,
b и c
(a + b) c = ac + bc
(это свойство подробно обсуждалось в "Кванте", 1972, номер 6).
Пусть дан трёхгранный угол. Направим по его рёбрам векторы единичной длины a, b и c. Тогда векторы a + b, b + c, c + a идут по биссектрисам плоских углов. Скалярные произведения
