Задача 79292

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Касательные к сферам ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Шарообразная планета окружена 37-ю точечными астероидами. Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 17 астероидов.

Примечание. Астероид, расположенный на линии горизонта, не виден.

Решение

Проведём через центр планеты и произвольную пару астероидов плоскость П (будем считать её экваториальной). Проведём ось планеты, перпендикулярную плоскости П. Она пересекает поверхность планеты в "полюсах" A и B. Тогда легко видеть, что наблюдатели в точках A и B видят вместе лишь 37 − 2 = 35 астероидов, а потому один из них видит менее 18 астероидов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	3